Jak na zlomky – jednoduché návody a příklady se zlomky
Se zlomky začínáme zhruba ve 4. třídě. Od té doby si můžeme být jisti, že nás budou provázet celým dalším studiem matematiky. Ze začátku však zlomky bývají poměrně tvrdý oříšek. Žáci neví, jak si je mají pořádně představit. A když se do toho navíc přidají nejrůznější číselné operace, je to ještě těžší.Pokud si dokážeme zlomky správně znázornit a půjdeme na to po jednotlivých krocích, vždy je zvládneme. Dnes si proto rozebereme jednotlivé pojmy, postupy a úlohy se zlomky, které vám pomohou zlomky lépe pochopit. Ukážeme vám také některé konkrétní příklady na zlomky s řešením.
Co to jsou zlomky
Jak jste asi slyšeli ze školy, zlomek je část celku. Co to ale pořádně znamená? Zkuste si představit třeba pizzu. Běžně ji dělíme na osm kousků. Jeden kousek z celé pizzy je tedy jedna osmina. Zlomkem ji zapíšeme takto: \frac{1}{8}.
Vodorovné čáře uprostřed říkáme zlomková čára. Číslo nahoře se nazývá čitatel. Ten nám udává, kolik částí vlastně máme. Vzali jsme si jeden kousek pizzy, takže na místo čitatele napíšeme jedničku.
Číslo pod zlomkovou čarou je zase jmenovatel. Toto číslo nám říká, kolik bylo kousků celkem. Jelikož jsme pizzu nakrájeli na osm dílků, zapíšeme osmičku. Jednomu dílku z osmi říkáme jedna osmina. Podle jmenovatele se zlomek jmenuje.
Druhy zlomků – pravé, nepravé a složené zlomky
Zlomky dělíme na tři druhy:
- pravé zlomky
- nepravé zlomky
- složené zlomky
Pokud si například z naší pizzy vezmeme maximálně osm dílků, pořád se držíme celku, který tvoří všech osm kousků. Zlomkům, které jsou menší než celek, říkáme pravé zlomky.
Zlomek může být ale větší než celek. Jak? Přidáme si další pizzu, která bude stejně rozdělená. Vezmeme si dílů celkem devět. Osm dílů z první pizzy a jeden ze druhé. Máme víc než jednu pizzu, víc než jeden celek. Zlomek zapsaný \frac{9}{8} čteme jako devět osmin. Tento zlomek je zlomek nepravý.
Složený zlomek jsou vlastně dva zlomky dohromady. Čitatel i jmenovatel tím pádem nejsou běžné číslo, ale také zlomek. V praxi vypadají takto: \frac{\frac{2}{3}}{\frac{7}{5}}
Základní práce se zlomky
Když už víme, jak zlomky vypadají, můžeme si ukázat, jak s nimi pracovat. Stejně jako běžná čísla zlomky mezi sebou násobíme, dělíme, sčítáme a odčítáme. Zároveň existují dvě operace specifické pro zlomky: krácení a rozšiřování zlomků. Tyto dvě operace nám pak pomůžou, až s nimi budeme počítat dál.
Krácení zlomků
Krácení zlomků nám zlomky zjednoduší. Jak se krátí zlomky? Ukažme si konkrétní příklad na zlomky:
\frac{42}{28}
Tento zlomek může na první pohled vypadat složitě. Ale zvládneme si ho krácením zjednodušit. Spočívá to v tom, že obě čísla vždy vydělíme společným dělitelem. Jmenovatel i čitatel se tím pádem stane menším číslem. Výhodou ale je, že nemusíme hned najít největšího dělitele. Krátit totiž můžeme vícekrát za sebou, klidně po menších číslech. Pokud jsou obě čísla sudá, doporučujeme začít dvojkou.
Náš zlomek nyní vypadá takto:
\frac{21}{14}
Teď už ale obě čísla sudá nejsou. Musíme zkusit najít jiného společného dělitele. Jediným dalším společným dělitelem je 7. Vydělíme tedy obě čísla sedmičkou.
\frac{3}{2}
Žádný další společný dělitel už není. Máme hotovo. Zprvu složitý zlomek si lze najednou mnohem lépe představit. Vznikly nám tři poloviny. Zlomek, který nejde už nijak dál krátit, nazýváme zlomek v základním tvaru. Vždy, když v příkladu nebo úloze se zlomky dospějete k výsledku, ujistěte se, že je zlomek v základním tvaru.
Rozšiřování zlomků
Rozšiřování je zase opačný proces. Jmenovatele a čitatele nedělíme, ale násobíme. Proč je to ale užitečné? Rozšiřujeme v případě, že potřebujeme změnit jmenovatele. Proč je to někdy potřeba, zjistíte níže v dalších kapitolách.
Začněme s jednou třetinou:
\frac{1}{3}
Náš cíl bude 12 na místě jmenovatele. Musíme tedy násobit čtyřkou. Ale pozor, platí to vždy pro celý zlomek. Takže nenásobíme pouze trojku, ale i jedničku.
\frac{4}{12}
A je hotovo. Výsledkem jsou čtyři dvanáctiny.
Převod zlomků na desetinná čísla
Občas se může stát, že budete potřebovat ze zlomku udělat desetinné číslo. Takový převod je ale poměrně jednoduchý. V tuto chvíli si stačí uvědomit, že zlomková čára symbolizuje operaci dělení. Jak tedy převést zlomky na desetinná čísla?
Podívejme se například na tento zlomek:
\frac{1}{4}
Při převádění zlomku na desetinné číslo vždy začínáme od shora, tedy čitatel dělíme jmenovatelem. V tomto případě se dostáváme na jednoduchý příklad:
1 : 4 = ?
1 : 4 = 0,25
A je hotovo. Z tohoto vychází i další symbol pro dělení, se kterým se ještě lze setkat, a to ÷. Rozhodně i tyto převody zlomků na desetinná čísla procvičujte, budou se vám hodit například u přijímaček z matematiky nebo při počítání s procenty.
Porovnávání zlomků
Při práci se zlomky je důležité mít přehled, jak je jaký zlomek vlastně velký oproti jinému. Právě k tomu nám pomůže porovnávání. Při porovnávání záleží, jestli mají dva porovnávané zlomky stejného jmenovatele, nebo jiného.
Jak porovnat zlomky se stejným jmenovatelem
U stejného jmenovatele je to o něco jednodušší. Vraťme se k naší pizze. Který ze zlomků je větší?
\frac{2}{8} ? \frac{5}{8}
Máme před sebou opět dvě pizzy, které jsou rozděleny na stejný počet dílků. Jmenovatele tedy řešit nemusíme, ten je stejný. Pak nám jen stačí se podívat, jaké číslo je v čitateli. 5 je větší než 2. Ten, kdo si vzal pět dílků, má více.
\frac{2}{8} < \frac{5}{8}
Jak porovnat zlomky s různým jmenovatelem
Klíčem je tedy mít stejného jmenovatele. Co ale dělat, když tomu tak není? V tom nám pomůže rozšiřování a krácení zlomků.
\frac{5}{15} ? \frac{12}{18}
Když se podíváme na oba jmenovatele, zjistíme, že mají společného dělitele, a to 3. Naším cílem je z obou jmenovatelů udělat 3. Toho dosáhneme krácením. U prvního zlomku budeme krátit 5. U druhého zase 6. Vznikne nám tohle:
\frac{1}{3} ? \frac{2}{3}
Úspěšně jsme se dostali na společného jmenovatele. Dva je větší než jedna. Abychom odpověděli přesně na zadání, zapíšeme, že dvanáct osmnáctin je větší než pět patnáctin.
\frac{5}{15} < \frac{12}{18}
Jak počítat zlomky
Se zlomky toho lze dělat mnoho, stejně jako s běžnými čísly. Jen musíme dávat větší pozor při postupu, abychom nic nespletli.
Sčítání zlomků
Jak se sčítají zlomky? U sčítání opět potřebujeme mít společného jmenovatele. V takovém případě nám jen stačí sečíst čitatele.
\frac{8}{10} + \frac{10}{10} = \frac{18}{10}
Mimochodem, abyste se v zápisu zlomků při jejich počítání lépe vyznali, můžete si zápis zjednodušit takto:
\frac{8 + 10}{10} = \frac{18}{10}
V případě, že se jmenovatel liší, opět převedeme na společného jmenovatele pomocí rozšiřování nebo krácení.
\frac{3}{4} + \frac{1}{8} = ?
Budeme převádět na osmičku, protože je to největší společný násobek obou jmenovatelů. První zlomek rozšíříme dvojkou.
\frac{6}{8} + \frac{1}{8} = ?
Nyní už stačí sečíst čitatele. Můžeme opět využít rychlejší zápis.
\frac{6 + 1}{8} = \frac{7}{8}
Odčítání zlomků
Odčítání zlomků se od sčítání liší jen znaménkem, postup je stejný. Jak se tedy odečítají zlomky?
\frac{4}{5} − \frac{1}{5} = \frac{3}{5}
A opět si zopakujeme postup s rozdílným jmenovatelem:
\frac{10}{16} − \frac{3}{8} = ?
Jmenovatele převedeme na 16. Druhý zlomek proto musíme rozšířit dvěma.
\frac{10}{16} − \frac{6}{16} = ?
\frac{10 − 6}{16} = \frac{4}{16}
Výsledkem jsou čtyři šestnáctiny.
Násobení zlomků
Teď si zkusíme něco jiného.
\frac{14}{9} X \frac{6}{21} = ?
Vždy násobíme čísla „vedle sebe“ – tedy čitatel s čitatelem a jmenovatel se jmenovatelem. U větších hodnot ale bude násobení složitější. Abyste si ulehčili práci, opět použijeme krácení. To lze použít i v tomhle případě.
Ale pozor! Jak vidíte, 14 a 9 žádného společného dělitele nemají. 6 a 21 taky ne. Jak tedy lze krátit? Můžeme mezi sebou krátit i čísla z různých zlomků. Vždy to však musí být čitatel se jmenovatelem. Nikdy nesmíme krátit například dva čitatele.
Pojďme vyřešit náš příklad. 14 a 21 mají společného dělitele, což je 7. Obě čísla zkrátíme.
\frac{2}{9} X \frac{6}{3} = ?
Teď se přesuneme na 9 a 6. Společný dělitel je 3.
\frac{2}{3} X \frac{2}{3} = ?
Najednou je příklad mnohem jednodušší a lépe představitelný. Už nám zbývá vynásobit mezi sebou čitatele a jmenovatele.
\frac{2}{9} X \frac{6}{3} = \frac{4}{9}
Teď už víte, jak se násobí zlomky.
Dělení zlomků
A jak dělit zlomky?
\frac{9}{5} : \frac{4}{7} = ?
Dělení zlomků spočívá v tom, že se dostaneme k násobení. K tomu musíme zlomek převrátit neboli prohodit hodnoty čitatele a jmenovatele.
\frac{9}{5} : \frac{4}{7} = ?
Zlomek máme převrácený. Teď už se jen změní znaménko operace z dělení na násobení.
\frac{9}{5} X \frac{7}{4} = ?
Nyní už postup známe. Žádný zlomek nejde zkrátit, a to ani mezi sebou. Můžeme tedy rovnou čísla vynásobit.
\frac{9}{5} X \frac{7}{4} = \frac{63}{20}
Převody mezi smíšeným a nepravým zlomkem
Určitě jste si všimli, že poslední výsledek je poměrně velký zlomek. Když nám vyjdou vyšší hodnoty, je dobré pro přehlednost zlomek převést na smíšený zlomek neboli smíšené číslo. Jak to uděláme?
Smíšené zlomky nám pomáhají se znázorněním těch nepravých. Vraťme se k jednomu z našich předchozích příkladů. Už víme, že devět osmin se skládá z jednoho celku a jedné osminy. To můžeme jednoduše zapsat složeným zlomkem jedna a jedna osmina, který vypadá takto:
1\frac{1}{8}
Zkusíme si tedy převod na smíšené číslo ze zlomku \frac{63}{20} .
Musíme zjistit, kolik je celků. Jeden celek má 20 dílků. Dohromady jich máme ale 63. Pojďme určit, kolikrát se 20 vejde do 63.
20 + 20 = 40
Dvakrát to nestačí. Zkusíme přidat ještě jednu dvacítku.
20 + 20 + 20= 60
Do 63 se nám číslo 20 vejde třikrát. Máme 3 celky. Jelikož jsme použili 60 dílků z celkových 63, zbudou nám tři dvacetiny. Převod je hotový, smíšený zlomek zapíšeme takto:
3\frac{3}{20}
Zlomky v praxi – typické slovní úlohy se zlomky
Jednoduché slovní úlohy na zlomky z běžného života
Zkusíme pár slovních úloh. Začneme s těmi, které připomínají situace z běžného života.
Anna upekla koláč a rozdělila ho na 12 stejných kousků. Odpoledne snědla 1/4 koláče a večer ještě 1/3 koláče. Kolik kousků koláče snědla celkem?
Potřebujeme sečíst, kolik kousků Anna snědla.
\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{?}{12}
K tomu použijeme převod na stejného jmenovatele. Jelikož byl koláč rozdělen na 12 kousků, musíme se dostat ke jmenovateli 12. První zlomek rozšíříme třemi a druhý čtyřmi.
\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{?}{12}
Teď už jen stačí sečíst čitatele. Výsledek je sedm dvanáctin.
\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}
Adam měl láhev džusu o objemu 1 litr. Dopoledne vypil 1/5 džusu a odpoledne ještě 2/5 džusu. Kolik litrů džusu vypil celkem a kolik mu zůstalo?
Nejprve jednoduše sečteme, kolik Adam vypil.
\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5}
\frac{5}{5} je jeden celek neboli 1 litr. Víme, že Adam vypil tři pětiny a zůstaly mu tím pádem dvě pětiny.
Slovní úlohy se zlomky z přijímaček z matematiky
Zlomky se samozřejmě objevují i v přijímacích zkouškách z matematiky na střední školy. Jak může taková slovní úloha na zlomky vypadat?
Škola plánuje projekt, na který přispívají tři třídy. 8.A přispěla 1/6 celkové částky, 8.B přispěla 1/4 celkové částky a 8.C přispěla zbytek, tedy 4 500 Kč. Kolik peněz se vybralo dohromady?
U podobných úloh si musíme jako první ujasnit, co se snažíme zjistit. V našem případě je to celková částka, kterou škola vybrala. Naši neznámou označíme jako x.
Poté si zapíšeme výsledky jednotlivých tříd.
Třída 8.A přispěla:
\frac{1}{6}x
Třída 8.B přispěla:
\frac{1}{4}x
Třída 8.C přispěla zbytek, tedy to, co z celku zůstane po odečtení příspěvků prvních dvou tříd.
Musíme zjistit, jakou část celku zaplatily třídy 8.A a 8.B dohromady:
\frac{1}{6} + \frac{1}{4}
Najdeme společného jmenovatele (nejmenší společný násobek 6 a 4 je 12):
\frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}
To znamená, že první dvě třídy zaplatily pět dvanáctin celkové částky.
Následně určíme, kolik zaplatila 8.C. Celý celek představuje zlomek 1. Když z něj odečteme 5/12, zůstane:
1 − \frac{5}{12} = \frac{7}{12}
Tento zlomek odpovídá příspěvku třídy 8.C.
Podle zadání ale víme, že:
\frac{7}{12}x = 4500
Tady vzniká rovnice se zlomky, kterou už můžeme jednoduše vyřešit.
Rovnici vyřešíme tak, že obě strany vydělíme zlomkem \frac{7}{12}. Prakticky tedy násobíme jeho převrácenou hodnotou:
x = 4500 \div \frac{7}{12} = 4500 \times \frac{12}{7}
x = 7714,29
Výsledek je 7 714,29 Kč.
Nejčastější chyby žáků při počítání zlomků
Při počítaní se zlomky se může stát hodně chyb. Rozšiřování a krácení jsou nové procesy, které si mohou žáci mezi sebou splést, nebo na ně dokonce úplně zapomenout. Během sčítání a odčítání je důležité si dávat pozor na jmenovatele, hlavně ho správně převést na společného jmenovatele. Dělení je zase zrádné v tom, že se často zapomíná převrátit zlomek, kterým dělíme.
Pokud by se vám i tak povedlo všem chybám vyvarovat a došli byste ke správnému výsledku, je tu ještě jeden chyták. Výsledek je vždy nutno uvést do co nejmenší podoby. Je potřeba ho zkrátit, případně převést na smíšený zlomek.
Tipy k procvičování zlomků – online cvičení zlomků a doučování matiky
Procvičovat zlomky lze různě. Jako vždy rozhodně zkuste hledat online cvičení na zlomky. Na internetu je jich nespočet. Při samotném počítání pomáhá si zlomky k něčemu přirovnat nebo načrtnout, ať si je dovedete lépe představit. Poté se vám bude mnohem lépe pracovat s většími zlomky, kde je vizualizace výrazně náročnější.
K procvičování zlomků se dají najít i fyzické pomůcky, například zlomkové kruhy. Jako pomůcka poslouží ale i již od začátku zmiňovaná pizza nebo koláč.
Nezapomeňte čerpat i ze sbírky úloh z matematiky nebo testů z minulých přijímaček z matematiky. Pokud se zlomky stále zápasíte, patrně vám bude více vyhovovat doučování, ať už prezenční nebo online doučování matematiky. Při doučování z matematiky si budete nejen procvičovat, ale především budete mít vedení. Jestli chcete lektora, který vám bude zároveň oporou a parťákem, Doučebnice je správná volba. Ozvěte se nám.
Doučování matematiky
Doučebnice – pracujte se zlomky jako matematik
Zlomky se sice zdají zprvu těžké, ale i s nimi si určitě poradíte. Dosáhnete toho zejména pravidelným procvičováním. Díky němu se vám vryjí pod kůži všechny základní postupy a operace se zlomky. Jakmile se naučíte správnou práci se zlomky, bude se vám tato dovednost hodit ve většině další látky z matematiky.
V Doučebnici jsme připraveni vám se zlomky a čímkoli dalším v matematice pomoci. Nabízíme i přípravu na přijímací zkoušky (nejen) z matematiky, kde vás zlomky také neminou. Zjistěte, jak byli spokojení naši studenti, jejich rodiče nebo učitelé. Kontaktujte nás a buďte připraveni na přijímačky z matiky i běžnou školní výuku matematiky. S námi zlomky hravě zvládnete.
