Trojčlenka je učivo matematiky, se kterým se poprvé setkáte zhruba v sedmé třídě základní školy. A od té doby o ní uslyšíte ještě mockrát. Není se čemu divit, trojčlenka je poměrně jednoduchý nástroj, který jde nasadit na spoustu úloh. Hodí se ale i v běžném životě.
Jakmile dostanete princip trojčlenky pod kůži, získáte skvěle využitelnou dovednost. Pojďme se tedy podívat, kde vůbec trojčlenku využít a jak funguje.
Co je vůbec trojčlenka?
Začneme nejdřív vysvětlením samotného názvu. Při počítání s trojčlenkou známe právě tři údaje (tedy tři členy) a hledáme ten čtvrtý. To je naše x.
Trojčlenku používáme v souvislosti s přímou a nepřímou úměrností.
Například:
Za 3 kg jablek zaplatíme v obchodě 90 Kč. Kolik korun zaplatíme za 5 kg stejných jablek?
Máme tedy tři údaje. Ten čtvrtý, tedy cena za 5 kg jablek, je naše neznámá. Typický příklad pro trojčlenku. Při každém výpočtu je důležité si správně uvědomit, v jakém vztahu naše známé údaje jsou. Tedy jestli v závislosti na sobě obě rostou/klesají, nebo jedna veličina roste a druhá klesá.
Abychom snadno znázornili tyto vztahy, používáme v zápisu úlohy šipky. První šipku vedeme vždy od x. Poté už záleží, jestli se jedná o přímou, nebo nepřímou úměru.
Správné zapsání šipek je základ úspěchu. Pojďme se podívat na jednotlivé příklady, abychom si ujasnili, jak nám můžou nějaké šipky vůbec pomoct.
Přímá úměrnost
Přímá úměrnost vyjadřuje vztah, kde platí jednoduché pravidlo. Kolikrát se zvětší jedna veličina, tolikrát se zvětší i druhá veličina. Tedy čím více, tím více. Platí to samozřejmě i naopak.
Vraťme se k našemu příkladu s jablky. Ten je totiž klasickým případem přímé úměrnosti. Čím víc jablek koupíme, tím víc musíme zaplatit.
Úlohu zapíšeme takto:
Teď přidáme do zápisu šipky.
Podle toho, jak jsme si zapsali šipky, pak utvoříme zlomky. S těmi už pracovat umíme, můžete si je připomenout v našem dalším článku. Neznámou x napíšeme do čitatele, protože právě od něj šipka začíná. Do jmenovatele pak přijde číslo 90. Stejně to uděláme u druhé šipky.
\frac{x}{90} = \frac{5}{3}
Teď už vyřešíme rovnici, abychom našli x.
\frac{x}{90} = \frac{5}{3}
{x} = \frac{5}{3}\cdot90
{x} = \frac{450}{3}
{x} = {150}
Hotovo! Za 5 kilo zaplatíme 150 korun.
Další příklady
Máme pro vás dva další příklady na procvičení přímé úměrnosti. Čím více příkladů spočítáte, tím snadnější pro vás trojčlenka bude. Nebojte se proto procvičovat.
Za 4 m látky zaplatíme 480 Kč. Kolik Kč zaplatíme za 7 m téže látky?
Výsledek: 840 Kč.
Auto ujede za 2 hodiny vzdálenost 140 km. Kolik km ujede stejnou rychlostí za 5 hodin?
Výsledek: 350 Kč.
Nepřímá úměrnost
V nepřímé úměrnosti máme zase opačný vztah, neboli čím více, tím méně.
Šipky jdou v tomto případě proti sobě. Tu první zase vedeme od x, ale tu druhou musíme zapsat opačným směrem.
Klasická slovní úloha na nepřímou úměrnost zní například takto:
Zedníci staví zeď. 2 zedníci zeď postaví za 6 hodin, za kolik hodin by zeď zvládli postavit 3 zedníci?
Tentokrát zapíšeme šipky trochu jinak. Tu první pořád vedeme od x, ale tu druhou musíme zapsat od opačného členu. Zápis bude vypadat takto:
A opět zapíšeme zlomky. Nezapomeňte se řídit podle směru šipek.
\frac{x}{6} = \frac{2}{3}
Teď už zase řešíme rovnici.
\frac{x}{6} = \frac{2}{3}
{x} = \frac{2}{3}\cdot6
{x} = \frac{12}{3}
{x} = {4}
3 zedníci by zeď zvládli postavit za 4 hodiny.
Další příklady
Opět si můžete na dvou dalších úlohách procvičit i nepřímou úměrnost.
4 čerpadla vyčerpají bazén za 6 hodin. Za jak dlouho vyčerpá stejný bazén 3 stejně výkonná čerpadla?
Výsledek: 8 hodin.
Automobil projede plánovanou trasu při průměrné rychlosti 80 km/h za 3 hodiny. Jak dlouho mu bude cesta trvat, pokud pojede průměrnou rychlostí 60 km/h?
Výsledek: 4 hodiny.
Na co si dát pozor
Nezapomeňte se před samotným výpočtem ujistit, že jsou odpovídající veličiny ve stejných jednotkách. Nelze tak například mít jeden údaj v hodinách a druhý v minutách.
Základem je pochopení myšlenky přímé nebo nepřímé úměrnosti ve vašem konkrétním příkladu. Není na škodu si pokládat kontrolní otázky, abyste měli jistotu, o jaký druh úměrnosti se jedná.
Například:
Když koupím 2× více látky, zaplatím 2× více, nebo 2× méně? → Za větší množství musíme zaplatit více. Jde o přímou úměru.
Když pojedu 2× rychleji, strávím na cestě 2× více času, nebo 2× méně? → Díky větší rychlosti budu na místě dříve. Jde o nepřímou úměru.
Kde lze využít trojčlenku
Jak už bylo zmíněno, trojčlenku lze nasadit na různé typy příkladů. Právě proto je důležité trojčlenku s jistotou ovládat, pokud vás čekají přijímací zkoušky na střední školy. V Cermat přijímačkách najdete totiž výpočty s procenty (základ je 100 %, část je x %), měřítko mapy (1 cm na mapě je ve skutečnosti x cm) nebo úlohy o společné práci či pohybu.
Pokud si nejste v počítání s trojčlenkou ještě zcela jisti, nebojte se zkusit doučování z matematiky. Jestli váháte, zda je doučování opravdu to pravé, přečtěte si náš další článek.
Trojčlenka vám ale může pomoct i v praktickém životě. Využít ji lze například při nakupování (Je výhodnější 1,5litrové balení nápoje za 35 Kč, nebo 2litrové za 44 Kč?), vaření (Jak upravit množství surovin, aby recept původně pro 4 osoby vystačil pro 7?) nebo jen při výpočtu výdělku za hodinovou mzdu.
Ovládněte matematiku s pomocí Doučebnice
Slovní úlohy a matematické principy mohou dělat problémy komukoliv. Není žádná ostuda říct si o pomoc. My v Doučebnici věříme, že uspět v matematice může každý, stačí mít správného lektora, který nejen pomůže, ale i motivuje. Právě to je cílem našeho týmu lektorů.
Pomůžeme vám připravit se na reparát z matematiky, zopakovat si učivo před velkým testem nebo rozšířit matematické znalosti. Pokud hledáte pomocnou ruku, aby vám šla lépa příprava na přijímačky z matematiky nebo příprava na maturitu z matematiky, Doučebnice je tu pro vás.
Neváhejte nám napsat a zvládněte s klidem trojčlenku i další učivo.
